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平方根はなぜプラスとマイナス両方あるの?ルートの基本を確認

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平方根の計算は、中学3年生で学習するほぼすべての分野との関連がありますので(方程式・関数・図形……)、まずは基本的なイメージをがっちりつかみましょう。

平方根を求める

「平方根を求めよ」と問われたら、プラス・マイナスの両方を答えなければいけない点に気をつけましょう。図にもありますが「9の平方根は?」と聞かれたら、「何を2乗したら9になるの?」と質問されているのと同じです。この場合、プラスの3はもちろん、マイナス3も2乗すれば9になります(マイナス×マイナスでプラスに)ので、2つとも答えにしていく必要があります。

9の平方根は±3で、たまたまシンプルな答えとなりました。しかし、平方根はきれいな数にならないことが多いです。電卓の√ボタンを押してみればわかりますが、例えば3の平方根は±1.73205…という無限に続く小数で、しかも数字の並びは規則性がなくバラバラです(無理数といいます)。したがって、こういう場合は根号(√の記号)の出番となります。

ルート付きの数字については、具体的にいくつになるか計算しにくいことが多いので、とりあえず正方形を思い浮かべるようにしましょう。例えばルート11は、面積が11である正方形の1辺の長さとなります。

そして、根号についての以下の計算は、これから当たり前のように使っていきますので慣れておきましょう。このときも正方形のイメージが重要です。

根号をつかった基本的な計算

1, 4, 9, 16, 25……といった、自然数の2乗になっている数の並びに注目です。図には載せませんでしたが、これを使ってルートの中身の大ざっぱな予測をすることができます。

  • ルート45……ルート36とルート49の間だから、6と7の間の数
  • ルート80……ルート64とルート81の間だから、8と9の間の数
    • ルート81(=9)の手前なので、9より少しだけ小さい数と考えることもできる

次に、ルートの中のケタ数が多い場合について。根号を外せるかどうかの見極めが大事です。

根号を外せる?

上の計算はまだいいとして、下の辺りになると怪しげになるケースが見られます。掛け算の筆算方法も載せておきましたので(小学校でかなり念入りに学習したはずですが、忘れている人が案外多いので……)、確認してみて下さい。

根号を外せる?の2つ目

この記事は、平方根について習いたての方を念頭に置いています。もう少し学習が進んでいる方は、「ルートの中身を小さくする問題」の記事もご覧下さい。

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