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中1の分数計算、ここに注意

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数学の計算で分数が出てくると、手順が多くて面倒だなと感じる方が多いと思います。ところで、文字式を使う次の2つの計算では分数の扱いが微妙に異なるのですが、手順を思い出せるでしょうか?

  • 「次の計算をしなさい(簡単にしなさい)」
    →式を整理してシンプルな形にまとめる問題
  • 「次の一次方程式を解きなさい」
    →xの中身を求める問題

具体例がないとイメージしにくいと思うので、図表をご用意しました。

分数計算の扱いの違い

上の例、「計算しなさい」という問題では、通分を使って計算を進めていきます。通分すると数字の見た目は変わるのですが、数字の大きさ自体は変わりません(例えば「4分の4」をかけるというのは「1をかける」ことと同じですので、当然と言ったら当然ですが)。

一方で下のように方程式を解く場合は、「全体に数字をかけて、分数を消去してしまう」というやり方ができます。方程式を解く場合、イコールの関係を崩さなければ数字の大きさを自体を変えてしまってもOKなのです。

なお方程式の場合、通分して解くこともできますが、ちょっと効率の悪いやり方になってしまいます。

では、もうちょっと具体的な問題も見てみましょう。

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問題その1

「計算しなさい」

まず、分数がズラズラと並んだ式をシンプルにする問題からです。

問題その1 - 計算しなさい
  • あ……xのある項とない項に分類して、順序を変える
    • この式は4つの項に分けることができます。符号の前のところで線を引いてみるとわかりやすいと思います
  • い……それぞれのグループで通分する
    • xのある項(青)は分母を12に、数字だけの項(赤)は6にします。
  • う……分母が揃ったので、足し算でまとめて完成

方程式を「解きなさい」

次に、上の問題をちょっと組み替えて、1次方程式の問題にしてみます。

問題その1 - 解きなさい
  • あ……両辺に12をかける
    • 分母にでてくる数字は3, 4, 6です。この3つの最小公倍数(つまり、3・4・6の段に出てくる九九の数字でなるべく小さいもの)は12ですので、全体に12をかけると一気に分数を消去できます
  • い……分配法則でかけ算をする
    • 慣れてきたら、「手順あ」を飛ばしていきなり「手順い」に言ってしまって構いません
  • う……xのある項を左に、ない項を右に移行して答えに持っていく

問題その2

もう1つ、分数の問題をご覧ください。こちらは分子に複数の項があるパターン(横長の分数?)ですが、手順は一緒です。

「計算しなさい」

問題その2 - 計算しなさい
  • あ……分母を6に揃えるため、通分する
  • い……2つの分数を1つにまとめる
    • 分数の前にマイナスが付いている場合、このマイナスはすべての項に影響しますので、分配法則で処理します(ここの部分、本当に計算ミスの多いところですのでご注意を!)

方程式を「解きなさい」

問題その2 - 解きなさい
  • あ……両辺に6(分母3と2の最小公倍数)をかける
    • 分数の上に乗っかっていた部分がバラバラにならないよう、分数を消去した後はかっこを使ってまとめておきましょう
  • い……分配法則でかっこを外す
    • 慣れてきたら、「あ」の後でいきなり「う」の行へいっても大丈夫です
  • う……あとはいつもの一次方程式と同じ手順です

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